FEIGENBAUMOVA MATEMATICKÁ

KONSTANTA NEEXISTUJE

© Bohumil Zářický



I velikáni vědy dělají chyby,

proto se občas oplatí

vrátit se zpět.

Rostislav Bičan



1. ÚVOD

Je srpen roku 2016. Čas dovolených a také čas nezávazného brouzdání po internetu. Při této bohulibé činnosti jsem náhodně narazil na problematiku dynamických systémů a deterministického chaosu. Ze zvyku jsem si přečetl několik prací k této problematice. Takto jsem se dostal k jednomu ze zakladatelů teorie chaosu M. Feigenbaumovi a jeho matematické konstantě.

Feigenbaum v 70. letech minulého století studoval nelineární logistickou funkci. Model vykazoval pro určité hodnoty parametru jeden stabilní bod, při vyšší hodnotě parametru r1 začal model oscilovat mezi dvěma hodnotami, při parametru r2 řešení oscilovalo mezi čtyřmi hodnotami. Následovalo další zdvojení počtu stavů v bifurkačním bodě r3 ( osm stavů ), r4 ( šestnáct stavů ) ,r5, r6 atd. Feigenbaumův scénář zdvojování počtu stavů v bifurkačních bodech vede k nepředvídatelnosti stavu systému, k chaosu v systému.

V roce 1975 Feigenbaum s použitím kapesního kalkulátoru objevil bifurkační body a údajný vztah mezi třemi po sobě následujícími bifurkacemi. Limitní podíl dvou následných diferencí parametru r je nazýván Feigenbaumova matematická konstanta. Její hodnota je v řádu jednotek. Pánové spočítali dokonce hodnotu Feigenbaumovy matematické konstanty na pětadvacet desetinných míst.

O matematických a fyzikálních konstantách vím něco více, především to, že za všech okolností pro danou soustavu úloh, nejen matematické konstanty i fyzikální konstanty mají stále svou konstantní hodnotu. Z hlediska predikce budoucích stavů je význam Feigenbaumovy matematické konstanty nulový. Vidina možnosti určení limity z prvních podílů následných diferencí svedla Feigenbauma na slepou kolej. Skutečná limita podílu sousedních diferencí má triviální hodnotu jedna. Důkaz je prostý a jednoduchý.

Platí, že diference mezi bifurkačními body se neustále zmenšují a pro velká n se jejich hodnota blíží k nule. Diference prvních šesti bifurkačních bodů se dají zjistit sice pracně, ale s dostatečnou přesností. Kdyby jejich hodnoty dal Feigenbaum do grafu zjistil by, že jde o prudce klesající mocninnou funkci se záporným exponentem. Stačilo se zamyslet jakou hodnotu asi bude mít třeba desátá a jedenáctá diference, pokud zjištěná pátá diference má hodnotu d5 = 0,00120. Desátou diferenci odhadnete z grafu například na d10 = 0,00005 a jedenáctou diferenci, protože hodnota mocninné funkce se již pro tyto argumenty moc nemění ( téměř konstantní funkce ), odhadnete třeba také na hodnotu d11 = 0,00005. Takže v limitě podíl dvou posledních diferencí triviální hodnotu jedna, pane Feigenbaume. Takto je slovně podán důkaz neexistence Feigenbaumovy matematické konstanty.

Hodnoty bifurkačních bodů spějí k netriviální limitě!

Limita v procesech deterministického chaosu určuje mez mezi intervalem bifurkací a intervalem chaosu. Pokud v jiném modelu než je studovaný nelineární logistický systém se zjistí, že proces má taktéž stejnou limitní hodnotu pro řídící parametr, pak teprve bychom mohli snad hovořit o matematické konstantě.

V této práci se budu věnovat svému vytyčenému cíli, zjistit hodnoty řídícího parametru v nelineárním logistickém systému pro hranice mezi intervaly. Tyto meze jsou dvě. Za prvé hranice mezi jedním stabilním stavem a prvním zdvojením počtu stavů, za druhé mezi bifurkačním a chaotickým intervalem. Počáteční podmínku v nelineárním logistickém systému tvoří výběr počáteční hodnoty stavu systému s0.

Z vlastní zkušenosti vím, že naši kapitáni vědy k novým věcem pokud zrovna nejsou z USA, mlčí i když jde o věci zásadní [ 1 ]. Nejsou si sebou jisti, bojí se. Mlčet budou tedy i k této práci. Mě jde v tomto případě o dvě věci. O vědu jako takovou, aby nebyla úplně zanesena nesmysly. Za druhé, poškádlit naši neplodnou chobotnici mainstreamu.







2.0. NELINEÁRNÍ LOGISTICKÁ ROVNICE



Normovaná diferenční logistická rovnice je dána rekurentním předpisem:



......................s(n+1) = r x s(n) x ( 1 – s(n)) ….......................................................( 1 )



kde …................1< r < 4................,

s(n+1) následující funkční hodnota , r je řídící parametr funkce, s(n) je předcházející funkční hodnota.



Nelineární logistický systém je funkcí počáteční hodnoty s0 a řídícího parametru r. Bifurkačními body r1, r2, r3, r4, r5,....... nazveme takovou hodnotu parametru r, pří kterém dochází ke zdvojení počtu oscilujících stavů na dvojnásobek.

V následujících kapitolách určím hodnotu bifurkačních bodů r1, r2, r3, r4, r5 a r6 a to postupnými iteracemi parametru r.





      2.1. BIFURKAČNÍ BOD r1













      2.2. BIFURKAČNÍ BOD r2











      2.3. BIFURKAČNÍ BOD r3













      2.4. BIFURKAČNÍ BOD r4













2.5. BIFURKAČNÍ BOD r5









2.6. BIFURKAČNÍ BOD r6

















3.0. LIMITA PRO BIFURKACE
















      4.0. ZÁVĚR

Feigenbaumova matematická konstanta neexistuje. V procesu, který konverguje k limitě platí, že diference mezi body se rychle zmenšují a pro velká n spějí k hodnotě nula.

Pro hranici mezi jedním setrvalým stavem a prvním zdvojením počtu stavů má řídící parametr v nelineárním logistickém systému hodnotu r1 = 2,9150.

Posloupnost bifurkačních bodů v nelineárním logistickém systému má limitu řídícího parametru. Tato limitahodnotu rn = 3,57125 a určuje mez mezi bifurkačním intervalem a intervalem chaosu.

Matematických konstant je méně než šafránu. Za čtyři a půl tisíce let historie vědy bylo objeveno pouze pět matematických konstant [ 2 ].



Copyright © 2016 by Bohumil Zářický. All right reserved.



Literatura:

[ 1 ] Zářický B.: Jednotná teorie fyzikálních polí, internet r. 2012

[ 2 ] Bičan R.: Bičanova matematická konstanta ZET, internet r. 2009